Over eindig en oneindig, over veelvoud en priemgetal

Herman Caeyers is tot de ontdekking gekomen dat de oude Grieken op sommige vlakken in de wiskunde veel verder stonden dan vandaag. Hij heeft er een boek over geschreven, een roman met als titel ‘Het pleidooi’, waarin hij op een minutieuze manier bewijzen aanlevert over de priemgetallen. Zonder de wijze Griekse denkers, Pythagoras, Aristoteles, Euclides had hij dit boek nooit kunnen schrijven. Hij is in hun denken gekropen en heeft vanuit hun inzichten een nieuwe theorie opgesteld: de wiskunde van de ongeordende getallen.

Een van de eerste dingen die we als kind leren is tellen. Zo wordt ons ingeprent dat de getallen op elkaar volgen en dat negen na acht komt. Vanaf het moment dat we kunnen tellen, leren we ook meten en kunnen we de gehele wereld in kaart brengen. We kunnen ook leren en meten hoe die wereld verandert in de tijd. De wereld bestaat immers uit ruimte én tijd. Daarna leren we rekenen en zien we hoe we welbepaalde zaken uit andere kunnen afleiden. De getallen die we in de wiskunde gebruiken zijn geordend en zijn dus grootheden: wij kunnen deze op een grafiek uitzetten.

Een geordend getal is altijd eindig. Men kan er een getal bij optellen maar dan bekomt men steeds weer een eindig getal. Men kan er zelfs eindeloos getallen bij optellen maar men komt nooit op oneindig terecht. Dit wil zeggen dat de wiskunde die we vandaag kennen een eindige wiskunde is: oneindig bestaat hier niet. Maar kunnen we dan geen wiskunde opstellen waarbij de getallen geen volgorde kennen, dus niet-geordend zijn en bijgevolg oneindig zijn?

De hoofdstelling van de getallenleer zegt dat elk getal kan geschreven worden als een vermenigvuldiging van priemgetallen. Zo kan men 8 schrijven als 2^3 en 9 als 3^2 . Als men de getallen in die vorm weergeeft dan kunnen we niets meer zeggen over hun volgorde. Zij zeggen alleen maar iets over de deelbaarheid van het getal. Zij zijn bijgevolg niet geordend en dus niet eindig: zij vormen de verzameling van de oneindige getallen. Het zijn geen grootheden want ze hebben met grootte niets te maken. We kunnen ze veelheden noemen.

Kunnen we dan geen wiskunde ontwikkelen die alleen werkt met deze veelheden? Zoals in de eindige wiskunde die we sterk ontwikkeld hebben oneindig niet bestaat, zo zal in deze nieuwe wiskunde eindig niet bestaan. Het is een wereld van het zijn of het niet-zijn. Eigenschappen van getallen omtrent hun deelbaarheid hebben dan ook te maken met deze dualiteit, waarbij het ene evenwaardig is aan het andere. Een getal is een veelvoud of een priemgetal. Het kan niet een beetje priemgetal zijn. Een getal is deelbaar door 7 of is het niet. De getallen zijn onafhankelijk van de grootte waardoor er geen singuliere punten kunnen optreden. Zo kan men stellen dat wanneer bij een getal een eigenschap omtrent deelbaarheid optreedt dit het geval is voor een eindeloos aantal getallen. In deze wiskunde kan het niet zijn dat er ‘boven’ een welbepaald getal de eigenschap niet meer zou gelden, want ‘boven’ is een begrip uit de geordende wereld. Zo volgt uit het feit dat er een priemgetal bestaat dat er een ‘eindeloos’ aantal priemgetallen bestaat. Zo betekent het ook dat wanneer er een priemtweeling bestaat er ook een ‘eindeloos’ aantal priemtweelingen bestaat.

Herman Caeyers poneert dat er naast de reële wereld die bestaat uit ruimte en tijd nog een andere wereld bestaat die te maken heeft met het zijn en het niet-zijn, die kan beschreven worden met de nieuwe wiskunde van de ongeordende getallen. Deze wereld kent geen ruimte en tijd maar is gebaseerd op duale principes waarmee de oude Grieken ook al bezig waren. De diofantische vergelijkingen zijn hiervan een voorbeeld. Deze wereld gaat over begrippen die niet kunnen gemeten worden zoals waarheid, goedheid en schoonheid. Terwijl de eindige wereld wordt beschreven door de fysica, wordt de oneindige wereld beschreven door de metafysica. Met zijn wiskunde heeft Caeyers aangetoond dat deze laatste ook onderhevig is aan wetten waartegen niet mag gezondigd worden. Zo moet men er over waken dat er geen eindige elementen in een metafysische theorie binnensluipen.

De fysica en de metafysica zijn totaal verschillende denkkaders. Fysische inzichten kunnen niet worden aangehaald om metafysische problemen op te lossen en omgekeerd. Dit is wat Herman Caeyers ontdekt heeft door de opdeling van de wiskunde in enerzijds de geordende wereld die het onderwerp uitmaakt van de fysica en anderzijds de ongeordende wereld die de wiskunde aanlevert om aan metafysica te doen waar eindigheid niet bestaat.